UV-Anteil der Strahlung eines schwarzen Körpers

Heute wieder mal was in Sage. Wie groß ist eigentlich der Anteil an Strahlung, der jenseits der UV-Grenze eines schwarzen Körpers liegt?

Quicklink: Worksheet in Sage

Hintergrund

Die Lösung dieses Problems ist eine Integration über die Planck'sche Strahlungsformel. Wir integrieren zunächst über das gesamte Spektrum (also von null bis unendlich) un den Gesamtanteil der Energie zu berechnen:

Für den Strahlungsanteil ab einer definierten UV-Frequenz (der Einfachheit-halber nehmen wir 300 nm als UV-Grenze an) werden einfach nur die Integrationsgrenzen angepasst

mit

Nun ist das Ergebnis noch temperaturabhängig.

Plot

Hier seht ihr einen Plot, der den UV-Anteil (in Prozent) in Abhängigkeit von der Temperatur in Kelvin darstellt.

Plot: UV-Anteil der Schwarzkörperstrahlung in Abhängigkeit von der Temperatur

Ziemlich beeindrucken, wie schnell der UV-Anteil ansteigt. Bei einer Temperatur von 10.000 K beträgt der UV-Anteil noch etwa 27%, bei T = 30.000K bereits fast 89% und ab T=50.000K sind wir schon jenseits der 95%-Schwelle.

 

Sage-Worksheet

Zu meinen Berechnungen habe ich ein Sage-Worksheet erstellt, das ihr hier downloaden könnt 🙂

Zur Erinnerung: Sage ist kostenlose (freie) Software, die ihr hier findet

pdflatex und EPS

Wer schon jemals versucht hat, mittels pdflatex eine eps-File in einem tex-File zu kompilieren, wird schnell auf folgenden Fehler stoßen:

 

pdflatex will nicht mit EPS-Dateien

Es gibt immer Abhilfe. Die folgende Code-Zeilen konvertieren EPS-Files 'on-the-fly' in PDFs, die anschließend in euer PDF eingebunden werden

 

Abgeänderter Source von https://chi3x10.wordpress.com/2009/06/18/eps-and-pdflatex-no-more-converting-eps-to-pdf/

 

Wichtig ist noch, dass pdflatex mit dem Argument -shell-escape} ausgeführt wird, sonst funktioniert das Paket epstopdf nicht richtig. In diesem Fall erhaltet ihr im Output von pdflatex irgendwas in der Form

 

Galileo im Feldtest

Galileo, Europas Pandon zum amerikanischen GPS, wird langsam - Seit heute befinden sich vier Satelliten im Orbit, mittels denen die Position auf der Erdkarte bestimmt werden kann. Zumindest wenn alle vier in Sichtweite sind.

Quelle: BBC News (via blog.fefe.de)

Gute Neuigkeiten für alle, die für ein ziviles, unabhängiges Positionsbestimmungssystem sind 😉

Barometrische Höhenformel

Weatherdude wächst weiter. Zunächst aber erstmal nur theoretisch. Keine Sorge, sind keine leeren Versprechungen, doch befor die nächste Implementierung erfolgt benötige ich ein paar physikalische Klimmzüge.

Heute geht es um die theoretische Grundlage der barometrischen Höhenformel.

Sofort-Links

 

Die barometrische Höhenformel

Die barometrische Höhenformel dient dazu, den Höhenverlauf des Luftdrucks der Erde (oder genauer: eines Planeten mit dichter Atmosphäre) zu modellieren. In diesem PDF habe ich die Herleitung durchexerziert. Die Herleitung folgt in groben Zügen jener der Wikipedia (Stand: 30 September 2012) mit einigen Modifikationen.

Die Herleitung erfolgt aus der statistischen Physik. Begriffe wie Boltzmann-Verteilung, Hamilton Operator und ideales Gasgesetz werden daher vorausgesetzt!

 

Bei dieser Gelegenheit möchte ich auch gleich nochmals auf CODATA hinweisen. Hier findet ihr eine praktische Suchmaschine, um die aktuellen Werte von so ziemlich allen physikalischen Konstanten nachzuschlagen. Zum Beispiel:

 

Angewandte barometrische Höhenformel bei einer Temperatur von 273.15 K zwischen 0m und 8.000 m

Ein kleines Sage Worksheet steht auch bereit 🙂

 In a nutshell

Wür alle Ungedultigen hier eine voll-funktionsfähige Version der barometrischen Höhenformel:


h ist die Höhe in Metern,

T die absolute Temperatur (in Kelvin)

Für die Umrechung von eurem Druck p in den Druck auf Normal-Null (bzw. Meereshöhe) verwendet ihr

Testimplementierung

Eine Erstimplementierung in Weatherdude findet ihr auf GitHub [Direktlink zum org.feldspaten.weatherdude.physics-Packet]

 

... und eine Demo-Servlet ...

... ist online und findet ihr hier. 🙂

 

Weatherdude ALPHA 1

Good news everbody!

Seit zwei Tagen läuft Weatherbuddy mit Weatherdude im ALPHA Release 🙂
Von nun können erste Daten über dieses Webinterface abgerufen werden.

Tagesplot von Sonntag, 16. September 2012

 

Weatherbuddy ist ein (primitives, experimentelles) Webinterfaces, mit dem die Daten von Weatherdude abgerufen und dargestellt werden können.

Hier seht ihr einen einfachen Datenplot eines Tagesverlaufs. Das ganze passt noch nicht ganz, was man z.B. bei der Temperatur gut sehen kann. Auch fehlen noch Achsen und deren Beschriftungen sowie eine halbwegs brauchbare Darstellung.

Keine Sorge, ein Rudel trainierter Affen kümmert sich darum 😉

 

Weatherdude und Weatherbuddy findet ihr übrigens auf GitHub. Details zum Fortschritt auf der Weatherdude-Seite meines Blogs.

Weatherdude - Update

OK, das Update im Arduino hat Weatherdude gut getan. Der Datenlogger läuft nun seit etwa 18h und versorgt die provisorische Datenbank mit einem 24h Datenset.

Zur Zeit sind in der Tabelle um die 7.485 Datensätze, dich vorerst bei mir bleiben. Eine Möglichkeit die Datensätze abzurufen werde ich euch in den nächsten Tagen bereit stellen. Bis dahin müssen jedoch erst ein paar Analysen und Kalibrationen vorgenommen werden 😉

Hardware update

Übrigens: Das Board hat ein kleines Hardware-Update erhalten: Zwei LEDs. Die "BOAH, welche Leistung"-Banausen lassen wir mal links liegen, denn die LEDS haben ihren verdammten Sinn:

Am Sonntag ist beim ersten Probebetrieb aus irgendwelchen nicht ersichtlichen Gründen mehrmals die WLAN-Verbindung zusammengebrochen. Ursache unbekannt. Eine LED leuchtet nunr Grün, sofern alles in Ordnung ist, die zweite LED während eines READOUTS. Dazu ein paar Worte später.

Da ich etwa alle 10 Sekunden einen Readout mache, kann ich mit einem kurzen Blick auf den Prototyp feststellen, ob denn noch alles läuft, oder ob schon wieder ein Problem festliegt. Vor dem LED-Update musste ich dazu den Data Collector am Server benachrichtigen.

 

Eigene Seite

Mit diesem Projekt habe ich eine neue Spielwiese entdeckt. Daher widme ich dem ganzen eine eigene Seite (oder hier mit https). Schaut mal rein, vielleicht findet der eine oder andere etwas interessantes 🙂

Nasa's seven minutes of terror

Viele haben sicherlich mitbekommen, dass am 5. August um 22:31 PDT (05:31 GMT oder 07:31 CEST) die Curiosity  (siehe auch Mars science labratory) am Mars landet. Damit verbunden ist die PM-Kampagne 7 minutes of terror.

Die beste Kurzzusammenfassung ist "Mars in a Minute - How hard is it to land curiosity on mars?" (Link zu YouTube).

Vollautomatische Landung

Die Vorstellung, dass ein solcher Landevorgang noch immer durch Menschen mit Joystick und Tastatur und irgendwelchen futuristischen hast-du-nicht-gesehen Zeugs passiert, ist einfach gesagt FALSCH.

Selbst wenn der Mars der Erde am nächsten ist, trennen Erde und Mars etwa 0,524 AE (~7.84 10^7 km). Da die Lichtgeschwindigkeit die Obergrenze für jegliche Signalübertragung darstellt braucht ein Signal etwa 261 Sekunden zwischen Erde-Mars.

Zum Zeitpunkt der Landung sind Erde und Mars etwa 14 Lichtminuten voneinander entfernt. 14 Minuten nachdem der Joystick geschwungen wird, kommt das Signal bei der Sonde an. Und nach weiteren 14 Minuten bekommt der Pilot das Feedback seiner Bewegungen  - UNREALISTISCH!!

Demnach müssen Entscheidungen und Steuerung vor Ort passieren. Und da wir noch keine Menschen da hoch schicken können muss der gesamte Landungsvorgang vollautomatisch ablaufen.

7 Minutes of terror??!

14 Minuten. So lange benötigt bei gegebenen Erde-Mars Konstellation ein Signal vom Mars zur Erde und vice-versa. Der Landungsvorgang dauert 7 Minuten.

Sobald die ersten Daten der landenden Sonde auf der Erde eintreffen, ist die Sonde bereits seit 7 Minuten auf der Marsoberfläche - Entweder als Ganzes oder als rauchender Trümmerhaufen. Um herauszufinden, ob die Sonde entweder in einem brauchbaren Zustand, oder zerschellt ist, braucht es demnach die 7 minutes of terror, wie sie in der PM-Kampagne genannt werden.

.... Und beim Landungsvorgang kann eine Menge schief gehen ....

Donnerwetter. So ein Landungsvorgang kann ziemlich komplex sein! (siehe dieses PM-Video). Das Video beschreibt den Landevorgang viel besser als die untenstehende Liste - Sie kann jedoch als Orientierung für die Daten verwendet werden für Leute, die das SI-System gewöhnt sind 😉

  • Den richtigen Winkel zum Mars besitzen damit sie weder verglüht noch abprallt
  • Während der Hitzeschild abbrennt, mit einer Eintrittsgeschwindigkeit von ~5.800km/h Flugmanöver durchführen
  • Die Atmosphäre vom Mars ist mit einem Druck von (6 10^-3 bar) etwa 200-mal dünner als auf der Erde. Diese dünne Luftschicht ist ausreichend, um die Sonde auf eine Geschwindigkeit von etwa ~470m/s abzubremsen. Dazu muss die Sonde bei Überschallgeschwindigkeit die richtigen Flugmanöver durchführen, um von der Gravitation nicht als fallender Stein fehl-interpretiert zu werden
  • Der große Fallschirm wird aktiviert, um die Sonde weiter abzubremsen. lt. Nasa der größte und stärkste bisher gebaute Fallschirm für Überschall-Abbremsungen: Er muss eine Spitzenkräfte von ~300 kN (umgerechnet auf etwa 30t Gewichtskraft auf der Erde) auffangen. Der Fallschirm selbst wiegt um die 50kg  und hat einen Durchmesser von 15.68m. Es soll das gesamte Gerät von 470 m/s auf unter 100m/s abbremsen
  • Sobald der Fallschirm aufgeht, wird auch der verbrannte Hitzeschild abgeworfen, um damit den Skycrane freizugeben
  • Sobald der Abbremsvorgang mit dem Fallschirm auf unter 100 m/s abgeschlossen ist, wird der Fallschirm abgeworfen. Das restliche Gerät wird nun mir Raketentriebwerken abgebremst
  • Damit die Sonde nicht vom Fallschirm getroffen wird, sobald die Raketentriebwerke zünden, muss sofort nach dessen Zündung eine Seitwärtsbewegung erfolgen. Ein Zusammentreffen von Sonde mit herabrasenden Fallschirmteilen endet ungesund für beide Parteien!
  • In dieser Flugphase wird vom internen Radar die Landezone ermittelt
  • Die Raketen dürfen bei der Landung nicht zu nahe am Boden sein. Der aufgewirbelte Staub könnte die Bordsysteme beschädigen. Deswegen kommt der Skycrane zum Einsatz
  • Mit dem Skycrane wird der Rover 20m über dem Boden langsam zu boden gelassen. Der Skycrane selbst hat eine Reichweite von etwa 7m.
  • Die Kabel werden abgeschnitten. Nun ist das Raketenmodul jedoch direkt über dem Rover und würde auf diesen abstürzen. Daher muss das Raketenmodul noch eine letzte Bewegung weg vom Rover machen

Das alles wird bewerkstelligt durch 6 Fahrzeug-"Stufen", 76 Raketentriebwerke und etwa 500.000 LOC.

Auf dieser Seite findet ihr eine Grafik der NASA, die den Landungsvorgang sehr gut beschreibt.

Und selbst wenn das alles glatt läuft, gibt es auf dem Mars noch einige "Überraschungen": zum Beispiel verteufelte Sandstürme mit über 400km/h!!

 

Youtube-Links

Weiterführendes YouTube Material:

 

Higgs Teilchen gefunden

Gratulation an die Jungs im CERN (cern.ch) für die Entdeckung des Higgs-Teilchens!!

ATLAS und CMS haben beide si -Grenze (5-sigma Grenze) erreicht, bei der man von einer Neuentdeckung eines Teilchens sprechen kann. Das Higgs-Boson wurde in Bereich von entdeckt.

Die Daten werden zwar noch offiziell bearbeitet, da es aber bereits frühere Hinweise auf das Teilchen gegeben hat, glaube ich dass ein gesunder Optimismus hier durchaus angebracht ist 😉

Proton-Proton Kollision, das zwei hochenergetische Photonen erzeugt (rote Traces).
Quelle: [Direktlink], [Link zu Cern public]
Den vollständigen Presseartikel findet ihr hier. Das Bild stammt übrigens von
http://public.web.cern.ch/public/

 

Addendum

Und für so ein kleines Sch***erchen braucht man nur die größte Maschine der Welt:

Ein 26.659 m langes Doppelrohr, das etwa 100m tief unter Genf begraben ist. Der LHC selbst liegt dabei auf französischem und Schweizer Terrain.
Übrigens: Im CERN selbst gilt weder Schweizer noch französisches Recht. Die UNESCO hat das Gebiet als extraterritoriales Gebiet deklariert! [1]

Geografische Lage des LHC. cc-by-sa
diverse contributors; mashup by User:Zykure
Source: Wikimedia

Der LHC - ein Synchrotron

Um die Teilchen auf der Bahn zu halten, werden etwa 9.000 Magnete verwendet. Bei Synchrotron-Beschleuniger (un der LHC ist einer, siehe dazu Wikipedia: Synchotron) werden zur starken Fokussierung des Teilchenstrahles jeweils zwei Magnete mit alternierenden Feldgradienten eingesetzt.

Die Fokussierung erfolgt mittels aufeinander folgenden Paaren von Dipol- und Quadrupolmagnete. Die Dipolmagnete halten die Protonen auf der Kreisbahn, während die Quadrupolmagnete den Strahl fokussieren:

Feldlinien eines Quadrupolmagnetfelds

 

Gemäß der Lorentzkraft erfährt das Proton eine Kraft in x- und in y-Richtung, wobei die Vorzeichen der beiden Kräfte immer entgegengesetzt ist. Die Folge ist, dass eine radiale Fokussierung eine vertikale Destabilisierung bewirkt und umgekehrt: Wenn man den Strahl in y-Richtung stabilisieren will, wird er in x-Richtung "aufgeweicht" und umgekehrt. Daher bedarf es immer paarweise entgegengesetzt gerichtete Quadrupolmagnete, um den Strahl sowohl radial, wie auch vertikal zu stabilisieren.

 

Cooler Ort

Die Rohre selbst werden dabei mit 10.000 t (!!!) flüssigem und 120 Tonnen He auf etwa 1.9 K gekühlt - sogar die kosmische Hintergrundstrahlung ist mit berechneten 3 K "wärmer".

Bei ihrem Flug erreichen die (armen?) Protonen etwa 99.9999991% der Lichtgeschwindigkeit (). Diese Geschwindigkeit wird voraussichtlich erst in ein paar Jahren erreicht werden, da die Energie des LHC langsam erhöht wird - Der LHC wird laufend gewartet, getestet und entwickelt.

Es werden immer wieder technische Zyklen eingelegt, bei dem Erfahrungen von vorhergehenden Experimenten zusammengetragen werden und die Maschine entsprechend optimiert wird. Der LHC "reift" langsam, und kann erst in ein paar Jahren eine volle Leistung von 7 TeV pro Beam erbringen.

Dass diese Zyklen dringend gebraucht werden, zeigen einige vorhergehende Zwischenfälle, wie etwa der am 19. September 2008 - als ein kleiner Teil der Supraleitung zusammengebrochen ist und 53 supraleitende Magnete beschädigt wurden [2]

Quelle: Cern

Das Grid

Um die immensen Datenmengen (wir sprechen von einigen 1.000 DVD pro Tag !!) auswerten zu können, bedient sich CERN über das GRID - einem Pionier der heutigen verteilte Systeme Architekturen [3]. Das Grid verteilt seine Rechenarbeit auf eine große Anzahl an Computern - und jeder kann daran teilnehmen:

Über BOINC und dem LHC@home Projekt einfach anmelden und schon wertet dein Computer Daten für das CERN aus 🙂

BOINC läuft im Hintergrund und benützt den sonst nicht verwendeten Teil des Prozessors für die Rechenarbeit. Davon merkst du (fast) nichts - auf meinen Rechnern läuft BOINC seit einigen Jahren. Außerdem erstellt er ein paar sehr coole Screensaver:

Seti@Home ist eines der GRID-Projekte die über BOINC unterstützt werden können. Wir sehen eine fast-Fourier-Transformation von Signalen, die in Echzeit über den Bildschirm flackern.
Quelle: BOINC Screenshots

Ein paar interessante Links dazu:


[1] http://www.lhc-facts.ch/index.php?page=geographie
[2] http://www.lhc-facts.ch/index.php?page=magnetfeld
[3] http://public.web.cern.ch/public/en/lhc/Computing-en.html

Sage: Hermite Polynome

Hintergrund

Wie aus der Quantenmechanik bekannt, bilden die Hermite-Polynome (inklusive einer einhüllenden Gauss-Kurve) die Wellenfunktions-Lösungen zu den Energieeigenwerten des harmonischen Oszillators:

Die Lösungen dazu werden durch folgende Differentialgleichung bestimmt

Die Lösungen dieser DGL sind die Hermite-Polynome, welche durch die folgende Rodriguez-Formel berechnet werden können

n gibt dabei gleichzeitig auch die Anzahl an Nullstellen an, was an folgendem Beispiel
für n = 7 ersichtlich ist:

Hermite Polynom der Ordnung 7. Zu beachten: Im harmonischen Oszillator werden die Hermite-Polynome noch mit einer einhüllenden Gauß-Funktion multipliziert! Daher ist im harmonischen Oszillator die Aufenthaltswahrscheinlichkeit nahe dem Nullpunkt größer als am Rande.

 

Zusammenfassung

Die stationären Wellenfunktions-Lösungen zu den Energieeigenwerten sind gegeben durch eine einhüllende Gauss-Funktion und durch Hermite-Polynome im Inneren.

Ich habe ein zugehöriges Sage-Worksheet erstellt, mit dem ihr ganz einfach Hermite-Polynome erstellen könnt. 🙂

Download

Die Definition der Hermite-Polynom lautet wie folgt

x = var('x')
def Hermite(n) : return (-1)**n * e**(x^2/2) * (e**(-x**2/2)).diff(n)

Notiz: ** in Python (und dmait auch in Sage) ist das Hoch-Zeichen. 2**2 bedeutet demnach und ist gleich 4

Den Download des gesamten Sage-Worksheets findet ihr hier.