Sage: Hermite Polynome

Hintergrund

Wie aus der Quantenmechanik bekannt, bilden die Hermite-Polynome (inklusive einer einhüllenden Gauss-Kurve) die Wellenfunktions-Lösungen zu den Energieeigenwerten des harmonischen Oszillators:

Die Lösungen dazu werden durch folgende Differentialgleichung bestimmt

Die Lösungen dieser DGL sind die Hermite-Polynome, welche durch die folgende Rodriguez-Formel berechnet werden können

n gibt dabei gleichzeitig auch die Anzahl an Nullstellen an, was an folgendem Beispiel
für n = 7 ersichtlich ist:

Hermite Polynom der Ordnung 7. Zu beachten: Im harmonischen Oszillator werden die Hermite-Polynome noch mit einer einhüllenden Gauß-Funktion multipliziert! Daher ist im harmonischen Oszillator die Aufenthaltswahrscheinlichkeit nahe dem Nullpunkt größer als am Rande.

 

Zusammenfassung

Die stationären Wellenfunktions-Lösungen zu den Energieeigenwerten sind gegeben durch eine einhüllende Gauss-Funktion und durch Hermite-Polynome im Inneren.

Ich habe ein zugehöriges Sage-Worksheet erstellt, mit dem ihr ganz einfach Hermite-Polynome erstellen könnt. 🙂

Download

Die Definition der Hermite-Polynom lautet wie folgt

x = var('x')
def Hermite(n) : return (-1)**n * e**(x^2/2) * (e**(-x**2/2)).diff(n)

Notiz: ** in Python (und dmait auch in Sage) ist das Hoch-Zeichen. 2**2 bedeutet demnach und ist gleich 4

Den Download des gesamten Sage-Worksheets findet ihr hier.